Rešite x^3+1/x^3=3

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka vrednosti 0, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe s/z x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Če želite pomnožiti potence z isto osnovo, seštejte njihove eksponente. Seštejte 3 in 3, da dobite 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Odštejte 3x^{3} na obeh straneh.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

Nadomestek t za x^{3}.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 1 za a, -3 za b, in 1 za c v kvadratni enačbi.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvedi izračune.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Rešite enačbo t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, če je ± plus in če je ± minus.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ker x=t^{3}, so rešitve pridobljene tako, da reševanje enačb za vse t.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

Spremenljivka x ne more biti enaka vrednosti 0.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

Rešitev za x

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0,72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1,378240772$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka vrednosti 0, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe s/z x^{3}.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

Če želite pomnožiti potence z isto osnovo, seštejte njihove eksponente. Seštejte 3 in 3, da dobite 6.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

Odštejte 3x^{3} na obeh straneh.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

Nadomestek t za x^{3}.

$$t^{2}-3t+1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 1 za a, -3 za b, in 1 za c v kvadratni enačbi.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvedi izračune.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Rešite enačbo t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, če je ± plus in če je ± minus.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ker x=t^{3}, so rešitve pridobljene s ocenjevanje x=\sqrt[3]{t} za vsakega t.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$