Rešite x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 1 za a, -1 za b, in -1 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Rešite enačbo x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Za pozitiven izdelek, morata biti x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} in x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} negativna in pozitivna. Poglejmo si primer, ko sta x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} in x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} negativna.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Poglejmo si primer, ko sta x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} in x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} pozitivna.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$