Rešite x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 1 za a, -3 za b, in 1 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Rešite enačbo x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} in x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} pozitiven in x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negativen.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} pozitiven in x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negativen.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$