Rešite left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,333333333+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,490711985i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za x^{2}-10x+25, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Združite 4x^{2} in -x^{2}, da dobite 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Združite -12x in 10x, da dobite -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Odštejte 25 od 9, da dobite -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Dodajte 23 na obe strani.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Seštejte -16 in 23, da dobite 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -2 za b in 7 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Seštejte 4 in -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -2 je 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Delite 2+4i\sqrt{5} s/z 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}, ko je ± minus. Odštejte 4i\sqrt{5} od 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Delite 2-4i\sqrt{5} s/z 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za x^{2}-10x+25, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Združite 4x^{2} in -x^{2}, da dobite 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Združite -12x in 10x, da dobite -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Odštejte 25 od 9, da dobite -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Dodajte 16 na obe strani.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Seštejte -23 in 16, da dobite -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Delite -\frac{2}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Seštejte -\frac{7}{3} in \frac{1}{9} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Prištejte \frac{1}{3} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$