Rešite {left(1/4xright)}^2+left(40-xright)^2=58

$${ \left( \frac{ 1 }{ 4 } x \right) }^{ 2 } + { \left(40-x \right) }^{ 2 } = 58$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17}\approx 37,647058824+5,830358444i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}\approx 37,647058824-5,830358444i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Razčlenite \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

Izračunajte potenco \frac{1}{4} števila 2, da dobite \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(40-x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+1600-80x+x^{2}=58$$

Združite \frac{1}{16}x^{2} in x^{2}, da dobite \frac{17}{16}x^{2}.

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x=58$$

Odštejte 58 na obeh straneh.

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x-58=0$$

Odštejte 58 od 1600, da dobite 1542.

$$\frac{17}{16}x^{2}+1542-80x=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x+1542=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite \frac{17}{16} za a, -80 za b in 1542 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times \frac{17}{16}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Kvadrat števila -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times \frac{17}{16}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Pomnožite -4 s/z \frac{17}{16}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-\frac{17}{4}\times 1542}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Pomnožite -\frac{17}{4} s/z 1542.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-\frac{13107}{2}}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Seštejte 6400 in -\frac{13107}{2}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{-\frac{307}{2}}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Uporabite kvadratni koren števila -\frac{307}{2}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Nasprotna vrednost -80 je 80.

$$x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{2\times \frac{17}{16}}$$

Pomnožite 2 s/z \frac{17}{16}.

$$x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}, ko je ± plus. Seštejte 80 in \frac{i\sqrt{614}}{2}.

$$x=\frac{\frac{\sqrt{614}i}{2}+80}{\frac{17}{8}}$$

Delite 80+\frac{i\sqrt{614}}{2} s/z \frac{17}{8} tako, da pomnožite 80+\frac{i\sqrt{614}}{2} z obratno vrednostjo \frac{17}{8}.

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{80±\frac{\sqrt{614}i}{2}}{\frac{17}{8}}, ko je ± minus. Odštejte \frac{i\sqrt{614}}{2} od 80.

$$x=\frac{-\frac{\sqrt{614}i}{2}+80}{\frac{17}{8}}$$

Delite 80-\frac{i\sqrt{614}}{2} s/z \frac{17}{8} tako, da pomnožite 80-\frac{i\sqrt{614}}{2} z obratno vrednostjo \frac{17}{8}.

$$x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17} x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Razčlenite \left(\frac{1}{4}x\right)^{2}.

$$\left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

Izračunajte potenco \frac{1}{4} števila 2, da dobite \frac{1}{16}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+\left(40-x\right)^{2}=58$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(40-x\right)^{2}.

$$\frac{1}{16}x^{2}+1600-80x+x^{2}=58$$

Združite \frac{1}{16}x^{2} in x^{2}, da dobite \frac{17}{16}x^{2}.

$$\frac{17}{16}x^{2}+1600-80x=58$$

Odštejte 1600 na obeh straneh.

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x=58-1600$$

Odštejte 1600 od 58, da dobite -1542.

$$\frac{17}{16}x^{2}-80x=-1542$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{17}{16}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$\frac{\frac{17}{16}x^{2}-80x}{\frac{17}{16}}=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

Z deljenjem s/z \frac{17}{16} razveljavite množenje s/z \frac{17}{16}.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{\frac{17}{16}}\right)x=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

Delite -80 s/z \frac{17}{16} tako, da pomnožite -80 z obratno vrednostjo \frac{17}{16}.

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x=-\frac{1542}{\frac{17}{16}}$$

Delite -1542 s/z \frac{17}{16} tako, da pomnožite -1542 z obratno vrednostjo \frac{17}{16}.

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x=-\frac{24672}{17}$$

Delite -\frac{1280}{17}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{640}{17}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{640}{17} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\left(-\frac{640}{17}\right)^{2}=-\frac{24672}{17}+\left(-\frac{640}{17}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{640}{17} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}=-\frac{24672}{17}+\frac{409600}{289}$$

Seštejte -\frac{24672}{17} in \frac{409600}{289} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}=-\frac{9824}{289}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{1280}{17}x+\frac{409600}{289}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{640}{17}\right)^{2}=-\frac{9824}{289}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{640}{17}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9824}{289}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{640}{17}=\frac{4\sqrt{614}i}{17} x-\frac{640}{17}=-\frac{4\sqrt{614}i}{17}$$

Prištejte \frac{640}{17} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{640+4\sqrt{614}i}{17} x=\frac{-4\sqrt{614}i+640}{17}$$