Rešite {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Ovrednoti

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Koraki rešitve

Racionalizirajte imenovalec \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} tako, da pomnožite števec in imenovalec s \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Razmislite o \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrat števila \sqrt{3}. Kvadrat števila 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odštejte 1 od 3, da dobite 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnožite \sqrt{3}+1 in \sqrt{3}+1, da dobite \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Seštejte 3 in 1, da dobite 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Delite vsak člen 4+2\sqrt{3} z vrednostjo 2, da dobite 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Seštejte 4 in 3, da dobite 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Razširi

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Koraki rešitve

Racionalizirajte imenovalec \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} tako, da pomnožite števec in imenovalec s \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Razmislite o \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kvadrat števila \sqrt{3}. Kvadrat števila 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odštejte 1 od 3, da dobite 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnožite \sqrt{3}+1 in \sqrt{3}+1, da dobite \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Seštejte 3 in 1, da dobite 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Delite vsak člen 4+2\sqrt{3} z vrednostjo 2, da dobite 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Seštejte 4 in 3, da dobite 7.

$$7+4\sqrt{3}$$