Rešite sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Koraki rešitve

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x} števila 2, da dobite x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Dodajte 2x na obe strani.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Združite x in 2x, da dobite 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Odštejte 1 na obeh straneh.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, 3 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrat števila 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 s/z -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte 9 in -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, ko je ± plus. Seštejte -3 in \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Delite -3+\sqrt{5} s/z -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, ko je ± minus. Odštejte \sqrt{5} od -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Delite -3-\sqrt{5} s/z -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Vstavite \frac{3-\sqrt{5}}{2} za x v enačbi \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Poenostavite. Ta vrednost x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Vstavite \frac{\sqrt{5}+3}{2} za x v enačbi \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Poenostavite. Vrednost x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} ustreza enačbi.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Enačba \sqrt{x}=x-1 ima enolično rešitev.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$