Rešite sqrt{(2x-5)}-sqrt{(x-1)}=1

$$\sqrt{ (2x-5) } - \sqrt{ (x-1) } =1$$

Rešitev za x

$$x=2\sqrt{5}+7\approx 11,472135955$$

Koraki rešitve

Odštejte -\sqrt{x-1} na obeh straneh enačbe.

$$\sqrt{2x-5}=1+\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{2x-5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{2x-5} števila 2, da dobite 2x-5.

$$2x-5=\left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(1+\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x-1} števila 2, da dobite x-1.

$$2x-5=1+2\sqrt{x-1}+x-1$$

Odštejte 1 od 1, da dobite 0.

$$2x-5=2\sqrt{x-1}+x$$

Odštejte x na obeh straneh enačbe.

$$2x-5-x=2\sqrt{x-1}$$

Združite 2x in -x, da dobite x.

$$x-5=2\sqrt{x-1}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(x-5\right)^{2}=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Razčlenite \left(2\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=2^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$x^{2}-10x+25=4\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x-1} števila 2, da dobite x-1.

$$x^{2}-10x+25=4\left(x-1\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 4 s/z x-1.

$$x^{2}-10x+25=4x-4$$

Odštejte 4x na obeh straneh.

$$x^{2}-10x+25-4x=-4$$

Združite -10x in -4x, da dobite -14x.

$$x^{2}-14x+25=-4$$

Dodajte 4 na obe strani.

$$x^{2}-14x+25+4=0$$

Seštejte 25 in 4, da dobite 29.

$$x^{2}-14x+29=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -14 za b in 29 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 29}}{2}$$

Kvadrat števila -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 29}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z 29.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-116}}{2}$$

Seštejte 196 in -116.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{80}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 80.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{5}}{2}$$

Nasprotna vrednost -14 je 14.

$$x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, ko je ± plus. Seštejte 14 in 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+14}{2}$$

Delite 14+4\sqrt{5} s/z 2.

$$x=2\sqrt{5}+7$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{14±4\sqrt{5}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 4\sqrt{5} od 14.

$$x=\frac{14-4\sqrt{5}}{2}$$

Delite 14-4\sqrt{5} s/z 2.

$$x=7-2\sqrt{5}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=2\sqrt{5}+7 x=7-2\sqrt{5}$$

Vstavite 2\sqrt{5}+7 za x v enačbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Poenostavite. Vrednost x=2\sqrt{5}+7 ustreza enačbi.

$$1=1$$

Vstavite 7-2\sqrt{5} za x v enačbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(7-2\sqrt{5}\right)-5}-\sqrt{7-2\sqrt{5}-1}=1$$

Poenostavite. Ta vrednost x=7-2\sqrt{5} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$-1=1$$

Vstavite 2\sqrt{5}+7 za x v enačbi \sqrt{2x-5}-\sqrt{x-1}=1.

$$\sqrt{2\left(2\sqrt{5}+7\right)-5}-\sqrt{2\sqrt{5}+7-1}=1$$

Poenostavite. Vrednost x=2\sqrt{5}+7 ustreza enačbi.

$$1=1$$

Enačba \sqrt{2x-5}=\sqrt{x-1}+1 ima enolično rešitev.

$$x=2\sqrt{5}+7$$