Rešite sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Rešitev za x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Koraki rešitve

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanjši skupni mnogokratnik 2 in 4 je 4. Pretvorite \frac{1}{2} in \frac{1}{4} v ulomke z imenovalcem 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

\frac{2}{4} in \frac{1}{4} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Seštejte 2 in 1, da dobite 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanjši skupni mnogokratnik 4 in 8 je 8. Pretvorite \frac{3}{4} in \frac{1}{8} v ulomke z imenovalcem 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

\frac{6}{8} in \frac{1}{8} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Seštejte 6 in 1, da dobite 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Najmanjši skupni mnogokratnik 8 in 16 je 16. Pretvorite \frac{7}{8} in \frac{1}{16} v ulomke z imenovalcem 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

\frac{14}{16} in \frac{1}{16} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Seštejte 14 in 1, da dobite 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} števila 2, da dobite \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, \frac{1}{2} za b in \frac{15}{16} za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{1}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 s/z \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte \frac{1}{4} in \frac{15}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, ko je ± plus. Seštejte -\frac{1}{2} in 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Delite \frac{3}{2} s/z -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}, ko je ± minus. Odštejte 2 od -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Delite -\frac{5}{2} s/z -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Vstavite -\frac{3}{4} za x v enačbi \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Poenostavite. Ta vrednost x=-\frac{3}{4} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Vstavite \frac{5}{4} za x v enačbi \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Poenostavite. Vrednost x=\frac{5}{4} ustreza enačbi.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

Enačba \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x ima enolično rešitev.

$$x=\frac{5}{4}$$