Rešite sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Koraki rešitve

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x^{2}-1} števila 2, da dobite x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{2x+1} števila 2, da dobite 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odštejte 2x na obeh straneh.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odštejte 1 na obeh straneh.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odštejte 1 od -1, da dobite -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -2 za b in -2 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Seštejte 4 in 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Nasprotna vrednost -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Delite 2+2\sqrt{3} s/z 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Delite 2-2\sqrt{3} s/z 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Vstavite \sqrt{3}+1 za x v enačbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Poenostavite. Vrednost x=\sqrt{3}+1 ustreza enačbi.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Vstavite 1-\sqrt{3} za x v enačbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Poenostavite. Vrednost x=1-\sqrt{3} ustreza enačbi.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Navedite vse rešitve za \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Rešitev za x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Koraki rešitve

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x^{2}-1} števila 2, da dobite x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{2x+1} števila 2, da dobite 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Odštejte 2x na obeh straneh.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Odštejte 1 na obeh straneh.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Odštejte 1 od -1, da dobite -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -2 za b in -2 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Seštejte 4 in 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Nasprotna vrednost -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Delite 2+2\sqrt{3} s/z 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Delite 2-2\sqrt{3} s/z 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Vstavite \sqrt{3}+1 za x v enačbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Poenostavite. Vrednost x=\sqrt{3}+1 ustreza enačbi.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Vstavite 1-\sqrt{3} za x v enačbi \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Izraz \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} ni določen, ker radicand ne more biti negativna.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Enačba \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ima enolično rešitev.

$$x=\sqrt{3}+1$$