Rešite sqrt{x+5}-sqrt{3x-2}=1

$$\sqrt { x + 5 } - \sqrt { 3 x - 2 } = 1$$

Rešitev za x

$$x = \frac{9 - \sqrt{37}}{2} \approx 1,458618735$$

Koraki rešitve

Odštejte -\sqrt{3x-2} na obeh straneh enačbe.

$$\sqrt{x+5}=1+\sqrt{3x-2}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{x+5} števila 2, da dobite x+5.

$$x+5=\left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(1+\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{3x-2} števila 2, da dobite 3x-2.

$$x+5=1+2\sqrt{3x-2}+3x-2$$

Odštejte 2 od 1, da dobite -1.

$$x+5=-1+2\sqrt{3x-2}+3x$$

Odštejte -1+3x na obeh straneh enačbe.

$$x+5-\left(-1+3x\right)=2\sqrt{3x-2}$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za -1+3x, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$x+5+1-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Seštejte 5 in 1, da dobite 6.

$$x+6-3x=2\sqrt{3x-2}$$

Združite x in -3x, da dobite -2x.

$$-2x+6=2\sqrt{3x-2}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(-2x+6\right)^{2}=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(-2x+6\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=\left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Razčlenite \left(2\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$4x^{2}-24x+36=2^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{3x-2} števila 2, da dobite 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=4\left(3x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 4 s/z 3x-2.

$$4x^{2}-24x+36=12x-8$$

Odštejte 12x na obeh straneh.

$$4x^{2}-24x+36-12x=-8$$

Združite -24x in -12x, da dobite -36x.

$$4x^{2}-36x+36=-8$$

Dodajte 8 na obe strani.

$$4x^{2}-36x+36+8=0$$

Seštejte 36 in 8, da dobite 44.

$$4x^{2}-36x+44=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -36 za b in 44 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 44}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 44}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z 44.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-704}}{2\times 4}$$

Seštejte 1296 in -704.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{592}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 592.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -36 je 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}, ko je ± plus. Seštejte 36 in 4\sqrt{37}.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+36}{8}$$

Delite 36+4\sqrt{37} s/z 8.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{36±4\sqrt{37}}{8}, ko je ± minus. Odštejte 4\sqrt{37} od 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{37}}{8}$$

Delite 36-4\sqrt{37} s/z 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$

Vstavite \frac{\sqrt{37}+9}{2} za x v enačbi \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{37}+9}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{\sqrt{37}+9}{2}-2}=1$$

Poenostavite. Ta vrednost x=\frac{\sqrt{37}+9}{2} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$-1=1$$

Vstavite \frac{9-\sqrt{37}}{2} za x v enačbi \sqrt{x+5}-\sqrt{3x-2}=1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{37}}{2}+5}-\sqrt{3\times \frac{9-\sqrt{37}}{2}-2}=1$$

Poenostavite. Vrednost x=\frac{9-\sqrt{37}}{2} ustreza enačbi.

$$1=1$$

Enačba \sqrt{x+5}=\sqrt{3x-2}+1 ima enolično rešitev.

$$x=\frac{9-\sqrt{37}}{2}$$