Rešite sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Koraki rešitve

Odštejte -\sqrt{15+x^{2}} na obeh straneh enačbe.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{25-x^{2}} števila 2, da dobite 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{15+x^{2}} števila 2, da dobite 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Seštejte 16 in 15, da dobite 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Odštejte 31+x^{2} na obeh straneh enačbe.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za 31+x^{2}, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Odštejte 31 od 25, da dobite -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Združite -x^{2} in -x^{2}, da dobite -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Če želite potenco potencirati z drugo potenco, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 in 2, da dobite 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Razčlenite \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco 8 števila 2, da dobite 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{15+x^{2}} števila 2, da dobite 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 64 s/z 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Odštejte 960 na obeh straneh.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Odštejte 960 od 36, da dobite -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Odštejte 64x^{2} na obeh straneh.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Združite 24x^{2} in -64x^{2}, da dobite -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Nadomestek t za x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 4 za a, -40 za b, in -924 za c v kvadratni enačbi.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Izvedi izračune.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Rešite enačbo t=\frac{40±128}{8}, če je ± plus in če je ± minus.

$$t=21 t=-11$$

Ker x=t^{2}, so rešitve pridobljene s ocenjevanje x=±\sqrt{t} za vsakega t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Vstavite -\sqrt{21} za x v enačbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Poenostavite. Ta vrednost x=-\sqrt{21} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$-4=4$$

Vstavite \sqrt{21} za x v enačbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Poenostavite. Ta vrednost x=\sqrt{21} ne ustreza enačbi, ker imata leva in desna stran nasprotna znaka.

$$-4=4$$

Vstavite -\sqrt{11}i za x v enačbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Poenostavite. Vrednost x=-\sqrt{11}i ustreza enačbi.

$$4=4$$

Vstavite \sqrt{11}i za x v enačbi \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Poenostavite. Vrednost x=\sqrt{11}i ustreza enačbi.

$$4=4$$

Navedite vse rešitve za \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$