Rešite sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Rešitev za x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Koraki rešitve

Odštejte -\sqrt{19-x^{2}} na obeh straneh enačbe.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{15+x^{2}} števila 2, da dobite 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{19-x^{2}} števila 2, da dobite 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Seštejte 4 in 19, da dobite 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Odštejte 23-x^{2} na obeh straneh enačbe.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za 23-x^{2}, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Odštejte 23 od 15, da dobite -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Združite x^{2} in x^{2}, da dobite 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Če želite potenco potencirati z drugo potenco, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 in 2, da dobite 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Razčlenite \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco 4 števila 2, da dobite 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Izračunajte potenco \sqrt{19-x^{2}} števila 2, da dobite 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 16 s/z 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Odštejte 304 na obeh straneh.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Odštejte 304 od 64, da dobite -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Dodajte 16x^{2} na obe strani.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Združite -32x^{2} in 16x^{2}, da dobite -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Nadomestek t za x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 4 za a, -16 za b, in -240 za c v kvadratni enačbi.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Izvedi izračune.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Rešite enačbo t=\frac{16±64}{8}, če je ± plus in če je ± minus.

$$t=10 t=-6$$

Ker x=t^{2}, so rešitve pridobljene tako, da ocenjevanje x=±\sqrt{t} za pozitiven t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Vstavite \sqrt{10} za x v enačbi \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Poenostavite. Vrednost x=\sqrt{10} ustreza enačbi.

$$2=2$$

Vstavite -\sqrt{10} za x v enačbi \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Poenostavite. Vrednost x=-\sqrt{10} ustreza enačbi.

$$2=2$$

Navedite vse rešitve za \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$