Rešite quadtext{17}x-3/x+3+x+3/x-3=21/2

$$\quad \text { 17 } \frac { x - 3 } { x + 3 } + \frac { x + 3 } { x - 3 } = 2 \frac { 1 } { 2 }$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}\approx 3,096774194-1,520925837i$$

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}\approx 3,096774194+1,520925837i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -3,3, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 17 s/z 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 34x-102 krat x-3 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 2x+6 krat x+3 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Združite 34x^{2} in 2x^{2}, da dobite 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Združite -204x in 12x, da dobite -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Seštejte 306 in 18, da dobite 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Pomnožite 2 in 2, da dobite 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Seštejte 4 in 1, da dobite 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x^{2}-9 s/z 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Odštejte 5x^{2} na obeh straneh.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Združite 36x^{2} in -5x^{2}, da dobite 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Dodajte 45 na obe strani.

$$31x^{2}-192x+324+45=0$$

Seštejte 324 in 45, da dobite 369.

$$31x^{2}-192x+369=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 31 za a, -192 za b in 369 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{\left(-192\right)^{2}-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Kvadrat števila -192.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-4\times 31\times 369}}{2\times 31}$$

Pomnožite -4 s/z 31.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-124\times 369}}{2\times 31}$$

Pomnožite -124 s/z 369.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{36864-45756}}{2\times 31}$$

Seštejte 36864 in -45756.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±\sqrt{-8892}}{2\times 31}$$

Uporabite kvadratni koren števila -8892.

$$x=\frac{-\left(-192\right)±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Nasprotna vrednost -192 je 192.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{2\times 31}$$

Pomnožite 2 s/z 31.

$$x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, ko je ± plus. Seštejte 192 in 6i\sqrt{247}.

$$x=\frac{192+6\sqrt{247}i}{62}$$

Delite 192+6i\sqrt{247} s/z 62.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{192±6\sqrt{247}i}{62}, ko je ± minus. Odštejte 6i\sqrt{247} od 192.

$$x=\frac{-6\sqrt{247}i+192}{62}$$

Delite 192-6i\sqrt{247} s/z 62.

$$x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -3,3, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z 2\left(x-3\right)\left(x+3\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x+3,x-3,2.

$$17\left(2x-6\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 17 s/z 2x-6.

$$\left(34x-102\right)\left(x-3\right)+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 34x-102 krat x-3 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$34x^{2}-204x+306+\left(2x+6\right)\left(x+3\right)=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 2x+6 krat x+3 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$34x^{2}-204x+306+2x^{2}+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Združite 34x^{2} in 2x^{2}, da dobite 36x^{2}.

$$36x^{2}-204x+306+12x+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Združite -204x in 12x, da dobite -192x.

$$36x^{2}-192x+306+18=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Seštejte 306 in 18, da dobite 324.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(2\times 2+1\right)$$

Pomnožite 2 in 2, da dobite 4.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\left(4+1\right)$$

Seštejte 4 in 1, da dobite 5.

$$36x^{2}-192x+324=\left(x^{2}-9\right)\times 5$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x^{2}-9 s/z 5.

$$36x^{2}-192x+324=5x^{2}-45$$

Odštejte 5x^{2} na obeh straneh.

$$36x^{2}-192x+324-5x^{2}=-45$$

Združite 36x^{2} in -5x^{2}, da dobite 31x^{2}.

$$31x^{2}-192x+324=-45$$

Odštejte 324 na obeh straneh.

$$31x^{2}-192x=-45-324$$

Odštejte 324 od -45, da dobite -369.

$$31x^{2}-192x=-369$$

Delite obe strani z vrednostjo 31.

$$\frac{31x^{2}-192x}{31}=-\frac{369}{31}$$

Z deljenjem s/z 31 razveljavite množenje s/z 31.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x=-\frac{369}{31}$$

Delite -\frac{192}{31}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{96}{31}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{96}{31} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{369}{31}+\left(-\frac{96}{31}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{96}{31} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{369}{31}+\frac{9216}{961}$$

Seštejte -\frac{369}{31} in \frac{9216}{961} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}=-\frac{2223}{961}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{192}{31}x+\frac{9216}{961}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}=-\frac{2223}{961}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{96}{31}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2223}{961}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{96}{31}=\frac{3\sqrt{247}i}{31} x-\frac{96}{31}=-\frac{3\sqrt{247}i}{31}$$

Prištejte \frac{96}{31} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{96+3\sqrt{247}i}{31} x=\frac{-3\sqrt{247}i+96}{31}$$