Rešite {lll}{1}&{1}&{1}{k}&{1}&{1}{1}&{k}&{1}

$$\left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { k } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { k } & { 1 } \end{array} \right)$$

Izračunaj determinanto

$$\left(k-1\right)^{2}$$

Koraki z uporabo Sarrusovega pravila

Poiščite determinanto matrike z metodo diagonal.

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right))$$

Razčlenite izvirno matriko tako, da ponovite prva dva stolpca kot četrti in peti stolpec.

$$\left(\begin{matrix}1&1&1&1&1\\k&1&1&k&1\\1&k&1&1&k\end{matrix}\right)$$

Začnite pri vnosu v zgornjem levem kotu in pomnožite navzdol vzdolž diagonal ter nato seštejte nastale produkte.

$$1+1+kk=k^{2}+2$$

Začnite pri vnosu v spodnjem levem kotu in pomnožite navzgor vzdolž diagonal ter nato seštejte nastale produkte.

$$1+k+k=2k+1$$

Vsoto produktov diagonale navzgor odštejte od vsote produktov diagonale navzdol.

$$k^{2}+2-\left(2k+1\right)$$

Odštejte 1+2k od 2+k^{2}.

$$\left(k-1\right)^{2}$$

Koraki z uporabo širitve s poddeterminantami

Poiščite determinanto matrike z metodo širitve s poddeterminantami (imenovano tudi kot širitev s kofaktorji).

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right))$$

Za razčlenitev s poddeterminantami pomnožite vsak element prve vrstice z njegovo poddeterminanto, ki je determinanta matrike 2\times 2, ustvarjene z brisanjem vrstice in stolpca, ki vsebuje ta element, ter nato pomnožite s predznakom elementa.

$$det(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}k&1\\1&1\end{matrix}\right))+det(\left(\begin{matrix}k&1\\1&k\end{matrix}\right))$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) determinanta je ad-bc.

$$1-k-\left(k-1\right)+kk-1$$

Poenostavite.

$$1-k-\left(k-1\right)+k^{2}-1$$

Seštejte člene, da pridobite končni rezultat.

$$\left(k-1\right)^{2}$$

Ovrednoti

$$\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right)$$