Rešite {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Rešitev za y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-2x=4$$

Prištejte 2x na obe strani enačbe.

$$y=2x+4$$

Vstavite 4+2x za y v drugo enačbo 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Pomnožite 3 s/z 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Seštejte 6x in 2x.

$$8x+12=28$$

Odštejte 12 na obeh straneh enačbe.

$$8x=16$$

Delite obe strani z vrednostjo 8.

$$x=2$$

Vstavite 2 za x v enačbi y=2x+4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=2\times 2+4$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$y=4+4$$

Seštejte 4 in 4.

$$y=8$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=8,x=2$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=8,x=2$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Če želite izenačiti y in 3y, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Poenostavite.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Odštejte 3y+2x=28 od 3y-6x=12 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Seštejte 3y in -3y. Z okrajšanjem izrazov 3y in -3y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-6x-2x=12-28$$

Seštejte -6x in -2x.

$$-8x=12-28$$

Seštejte 12 in -28.

$$-8x=-16$$

Delite obe strani z vrednostjo -8.

$$x=2$$

Vstavite 2 za x v enačbi 3y+2x=28. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$3y+2\times 2=28$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$3y+4=28$$

Odštejte 4 na obeh straneh enačbe.

$$3y=24$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$y=8$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=8,x=2$$