Rešite {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Rešitev za y, x

$$x=4$$

$$y=12$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 3x na obeh straneh.

$$y-3x=0$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-3x=0$$

Prištejte 3x na obe strani enačbe.

$$y=3x$$

Vstavite 3x za y v drugo enačbo y+x=16.

$$3x+x=16$$

Seštejte 3x in x.

$$4x=16$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=4$$

Vstavite 4 za x v enačbi y=3x. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=3\times 4$$

Pomnožite 3 s/z 4.

$$y=12$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=12,x=4$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 3x na obeh straneh.

$$y-3x=0$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=12,x=4$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 3x na obeh straneh.

$$y-3x=0$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Odštejte y+x=16 od y-3x=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$y-y-3x-x=-16$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-3x-x=-16$$

Seštejte -3x in -x.

$$-4x=-16$$

Delite obe strani z vrednostjo -4.

$$x=4$$

Vstavite 4 za x v enačbi y+x=16. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y+4=16$$

Odštejte 4 na obeh straneh enačbe.

$$y=12$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=12,x=4$$