Rešite {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Rešitev za x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Dodajte y na obe strani.

$$x+y=0$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+y=0$$

Odštejte y na obeh straneh enačbe.

$$x=-y$$

Vstavite -y za x v drugo enačbo 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Pomnožite 2 s/z -y.

$$-2y+y=5$$

Seštejte -2y in y.

$$-y=5$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$y=-5$$

Vstavite -5 za y v enačbi x=-y. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\left(-5\right)$$

Pomnožite -1 s/z -5.

$$x=5$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=5,y=-5$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Dodajte y na obe strani.

$$x+y=0$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=5,y=-5$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Dodajte y na obe strani.

$$x+y=0$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Odštejte 2x+y=5 od x+y=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$x-2x+y-y=-5$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$x-2x=-5$$

Seštejte x in -2x.

$$-x=-5$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$x=5$$

Vstavite 5 za x v enačbi 2x+y=5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$2\times 5+y=5$$

Pomnožite 2 s/z 5.

$$10+y=5$$

Odštejte 10 na obeh straneh enačbe.

$$y=-5$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=5,y=-5$$