Rešite {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Rešitev za x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+2y=60$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$x=-2y+60$$

Vstavite -2y+60 za x v drugo enačbo x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Seštejte -2y in -y.

$$-3y+60=30$$

Odštejte 60 na obeh straneh enačbe.

$$-3y=-30$$

Delite obe strani z vrednostjo -3.

$$y=10$$

Vstavite 10 za y v enačbi x=-2y+60. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-2\times 10+60$$

Pomnožite -2 s/z 10.

$$x=-20+60$$

Seštejte 60 in -20.

$$x=40$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=40,y=10$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=40,y=10$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Odštejte x-y=30 od x+2y=60 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Seštejte x in -x. Z okrajšanjem izrazov x in -x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$2y+y=60-30$$

Seštejte 2y in y.

$$3y=60-30$$

Seštejte 60 in -30.

$$3y=30$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$y=10$$

Vstavite 10 za y v enačbi x-y=30. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x-10=30$$

Prištejte 10 na obe strani enačbe.

$$x=40$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=40,y=10$$