Rešite {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Rešitev za x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x+y=3$$

Odštejte y na obeh straneh enačbe.

$$2x=-y+3$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Vstavite \frac{-y+3}{2} za x v drugo enačbo x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Seštejte -\frac{y}{2} in y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Odštejte \frac{3}{2} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Pomnožite obe strani z vrednostjo 2.

$$y=7$$

Vstavite 7 za y v enačbi x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} s/z 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Seštejte \frac{3}{2} in -\frac{7}{2} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=-2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-2,y=7$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=-2,y=7$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odštejte x+y=5 od 2x+y=3 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$2x-x=3-5$$

Seštejte 2x in -x.

$$x=3-5$$

Seštejte 3 in -5.

$$x=-2$$

Vstavite -2 za x v enačbi x+y=5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$-2+y=5$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$y=7$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-2,y=7$$