Rešite ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Ovrednoti

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Koraki rešitve

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+x^{2}\right)^{2}.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Če želite potenco potencirati z drugo potenco, pomnožite eksponente. Pomnožite 2 in 2, da dobite 4.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x s/z 4+4x^{2}+x^{4}.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Vsoto povežite z izrazom.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Faktorizirajte konstanto v vseh izrazih.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ker \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, zamenjajte \int x\mathrm{d}x z \frac{x^{2}}{2}. Pomnožite 4 s/z \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ker \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, zamenjajte \int x^{3}\mathrm{d}x z \frac{x^{4}}{4}. Pomnožite 4 s/z \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Ker \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, zamenjajte \int x^{5}\mathrm{d}x z \frac{x^{6}}{6}.

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Če je F\left(x\right) integral člena f\left(x\right), je množica vseh integralov f\left(x\right) izračunana glede na F\left(x\right)+C. Zato k rezultatu prištejte konstanto integracije C\in \mathrm{R}.

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Odvajajte w.r.t. x

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$