Rešite ∫ (from 0 to 2 pi) of (t-sint)dt

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( t - \sin t ) d t$$

Ovrednoti

$$2\pi ^{2}\approx 19,739208802$$

Koraki rešitve

Najprej ovrednotite nedoločni integral.

$$\int t-\sin(t)\mathrm{d}t$$

Vsoto povežite z izrazom.

$$\int t\mathrm{d}t+\int -\sin(t)\mathrm{d}t$$

Faktorizirajte konstanto v vseh izrazih.

$$\int t\mathrm{d}t-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Ker \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} za k\neq -1, zamenjajte \int t\mathrm{d}t s \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{2}}{2}-\int \sin(t)\mathrm{d}t$$

Uporabite \int \sin(t)\mathrm{d}t=-\cos(t) iz tabele s skupnim integrali, da pridobite rezultat. Pomnožite -1 s/z -\cos(t).

$$\frac{t^{2}}{2}+\cos(t)$$

Določen integral je integral izraza, ovrednotenega pri zgornji omejitvi integriranja, minus integral, ovrednoten pri spodnji omejitvi integriranja.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\pi \right)^{2}+\cos(2\pi )-\left(\frac{0^{2}}{2}+\cos(0)\right)$$

Poenostavite.

$$2\pi ^{2}$$