Rešite ∫ x^4+x^2+1/x^2+x+1 wrt x

$$\int \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x$$

Ovrednoti

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+С$$

Koraki rešitve

Faktorizirajte izraze, ki še niso faktorizirani v \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}+x+1}.

$$\int \frac{\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)}{x^{2}+x+1}\mathrm{d}x$$

Okrajšaj x^{2}+x+1 v števcu in imenovalcu.

$$\int x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Vsoto povežite z izrazom.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Faktorizirajte konstanto v vseh izrazih.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ker \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, zamenjajte \int x^{2}\mathrm{d}x z \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ker \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, zamenjajte \int x\mathrm{d}x z \frac{x^{2}}{2}. Pomnožite -1 s/z \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Poiščite integral 1 s pravilom \int a\mathrm{d}x=ax tabele z običajnimi integrali.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

Poenostavite.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Če je F\left(x\right) integral člena f\left(x\right), je množica vseh integralov f\left(x\right) izračunana glede na F\left(x\right)+C. Zato k rezultatu prištejte konstanto integracije C\in \mathrm{R}.

$$x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Odvajajte w.r.t. x

$$x^{2}-x+1$$