Rešite x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Rešitev za x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -\frac{1}{2},1, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite x-1 in x-1, da dobite \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite 2x+1 in 2x+1, da dobite \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje x-1 krat 2x+1 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 2x^{2}-x-1 s/z 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Združite 4x^{2} in 6x^{2}, da dobite 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Združite 4x in -3x, da dobite x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odštejte 3 od 1, da dobite -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odštejte 10x^{2} na obeh straneh.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Združite x^{2} in -10x^{2}, da dobite -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odštejte x na obeh straneh.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Združite -2x in -x, da dobite -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Dodajte 2 na obe strani.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Seštejte 1 in 2, da dobite 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -9 za a, -3 za b in 3 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrat števila -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite 36 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Seštejte 9 in 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Nasprotna vrednost -3 je 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, ko je ± plus. Seštejte 3 in 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Delite 3+3\sqrt{13} s/z -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}, ko je ± minus. Odštejte 3\sqrt{13} od 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Delite 3-3\sqrt{13} s/z -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -\frac{1}{2},1, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-1\right)\left(2x+1\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite x-1 in x-1, da dobite \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Pomnožite 2x+1 in 2x+1, da dobite \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje x-1 krat 2x+1 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 2x^{2}-x-1 s/z 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Združite 4x^{2} in 6x^{2}, da dobite 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Združite 4x in -3x, da dobite x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Odštejte 3 od 1, da dobite -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Odštejte 10x^{2} na obeh straneh.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Združite x^{2} in -10x^{2}, da dobite -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Odštejte x na obeh straneh.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Združite -2x in -x, da dobite -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Odštejte 1 na obeh straneh.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Odštejte 1 od -2, da dobite -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Delite obe strani z vrednostjo -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Z deljenjem s/z -9 razveljavite množenje s/z -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-3}{-9} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-3}{-9} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Delite \frac{1}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{1}{6}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{1}{6} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{1}{6} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Seštejte \frac{1}{3} in \frac{1}{36} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Odštejte \frac{1}{6} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$