Rešite 20/x-5=60/x+5+1

$$\frac{ 20 }{ x-5 } = \frac{ 60 }{ x+5 } +1$$

Rešitev za x

$$x=5\sqrt{33}-20\approx 8,722813233$$

$$x=-5\sqrt{33}-20\approx -48,722813233$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -5,5, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-5\right)\left(x+5\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x+5 s/z 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-5 s/z 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Razmislite o \left(x-5\right)\left(x+5\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Odštejte 25 od -300, da dobite -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Odštejte 60x na obeh straneh.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Združite 20x in -60x, da dobite -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Odštejte -325 na obeh straneh.

$$-40x+100-\left(-325\right)=x^{2}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -325 je 325.

$$-40x+100+325=x^{2}$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$-40x+100+325-x^{2}=0$$

Seštejte 100 in 325, da dobite 425.

$$-40x+425-x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-x^{2}-40x+425=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, -40 za b in 425 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrat števila -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+4\times 425}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 s/z 425.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+1700}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte 1600 in 1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{3300}}{2\left(-1\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 3300.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -40 je 40.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, ko je ± plus. Seštejte 40 in 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}+40}{-2}$$

Delite 40+10\sqrt{33} s/z -2.

$$x=-5\sqrt{33}-20$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{40±10\sqrt{33}}{-2}, ko je ± minus. Odštejte 10\sqrt{33} od 40.

$$x=\frac{40-10\sqrt{33}}{-2}$$

Delite 40-10\sqrt{33} s/z -2.

$$x=5\sqrt{33}-20$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=-5\sqrt{33}-20 x=5\sqrt{33}-20$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -5,5, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-5\right)\left(x+5\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x-5,x+5.

$$\left(x+5\right)\times 20=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x+5 s/z 20.

$$20x+100=\left(x-5\right)\times 60+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-5 s/z 60.

$$20x+100=60x-300+\left(x-5\right)\left(x+5\right)$$

Razmislite o \left(x-5\right)\left(x+5\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 5.

$$20x+100=60x-300+x^{2}-25$$

Odštejte 25 od -300, da dobite -325.

$$20x+100=60x-325+x^{2}$$

Odštejte 60x na obeh straneh.

$$20x+100-60x=-325+x^{2}$$

Združite 20x in -60x, da dobite -40x.

$$-40x+100=-325+x^{2}$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$-40x+100-x^{2}=-325$$

Odštejte 100 na obeh straneh.

$$-40x-x^{2}=-325-100$$

Odštejte 100 od -325, da dobite -425.

$$-40x-x^{2}=-425$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-40x=-425$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$\frac{-x^{2}-40x}{-1}=-\frac{425}{-1}$$

Z deljenjem s/z -1 razveljavite množenje s/z -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{-1}\right)x=-\frac{425}{-1}$$

Delite -40 s/z -1.

$$x^{2}+40x=-\frac{425}{-1}$$

Delite -425 s/z -1.

$$x^{2}+40x=425$$

Delite 40, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 20. Nato dodajte kvadrat števila 20 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+40x+20^{2}=425+20^{2}$$

Kvadrat števila 20.

$$x^{2}+40x+400=425+400$$

Seštejte 425 in 400.

$$x^{2}+40x+400=825$$

Faktorizirajte x^{2}+40x+400. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+20\right)^{2}=825$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+20\right)^{2}}=\sqrt{825}$$

Poenostavite.

$$x+20=5\sqrt{33} x+20=-5\sqrt{33}$$

Odštejte 20 na obeh straneh enačbe.

$$x=5\sqrt{33}-20 x=-5\sqrt{33}-20$$