Rešite frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Rešitev za b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Koraki za reševanje korenskih enačb

Racionalizirajte imenovalec \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} tako, da pomnožite števec in imenovalec s 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Razmislite o \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat števila 2. Kvadrat števila \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Odštejte 5 od 4, da dobite -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnožite 2+\sqrt{5} in 2+\sqrt{5}, da dobite \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{5} je 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Seštejte 4 in 5, da dobite 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Vse, kar delite z vrednostjo -1, vrne obratno vrednost. Če želite poiskati nasprotno vrednost za 9+4\sqrt{5}, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Racionalizirajte imenovalec \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} tako, da pomnožite števec in imenovalec s 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Razmislite o \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat števila 2. Kvadrat števila \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Odštejte 5 od 4, da dobite -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Pomnožite 2-\sqrt{5} in 2-\sqrt{5}, da dobite \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{5} je 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Seštejte 4 in 5, da dobite 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Vse, kar delite z vrednostjo -1, vrne obratno vrednost. Če želite poiskati nasprotno vrednost za 9-4\sqrt{5}, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Odštejte 9 od -9, da dobite -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Združite -4\sqrt{5} in 4\sqrt{5}, da dobite 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Zamenjajte strani tako, da so vse spremenljivke na levi strani.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Odštejte a na obeh straneh.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Kvadrirajte obe strani enačbe.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Z deljenjem s/z 5 razveljavite množenje s/z 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Rešitev za a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$