Rešite 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti 2,3, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-3\right)\left(x-2\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-2 s/z 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-3 s/z 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Združite 2x in 3x, da dobite 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Odštejte 9 od -4, da dobite -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 3x-9 krat x-2 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Odštejte 3x^{2} na obeh straneh.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Dodajte 15x na obe strani.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Združite 5x in 15x, da dobite 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Odštejte 18 na obeh straneh.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Odštejte 18 od -13, da dobite -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -3 za a, 20 za b in -31 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrat števila 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 12 s/z -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Seštejte 400 in -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, ko je ± plus. Seštejte -20 in 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Delite -20+2\sqrt{7} s/z -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{7} od -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Delite -20-2\sqrt{7} s/z -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti 2,3, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-3\right)\left(x-2\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-2 s/z 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x-3 s/z 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Združite 2x in 3x, da dobite 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Odštejte 9 od -4, da dobite -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 3x-9 krat x-2 in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Odštejte 3x^{2} na obeh straneh.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Dodajte 15x na obe strani.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Združite 5x in 15x, da dobite 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Dodajte 13 na obe strani.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Seštejte 18 in 13, da dobite 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Delite obe strani z vrednostjo -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Z deljenjem s/z -3 razveljavite množenje s/z -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Delite 20 s/z -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Delite 31 s/z -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Delite -\frac{20}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{10}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{10}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{10}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Seštejte -\frac{31}{3} in \frac{100}{9} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Prištejte \frac{10}{3} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$