Rešite x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Rešitev za x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 21, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 7,3.

$$3x+7y=105$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 14.

$$-x+42y=364$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x+7y=105$$

Odštejte 7y na obeh straneh enačbe.

$$3x=-7y+105$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Vstavite -\frac{7y}{3}+35 za x v drugo enačbo -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Pomnožite -1 s/z -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Seštejte \frac{7y}{3} in 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Prištejte 35 na obe strani enačbe.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{133}{3}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=9$$

Vstavite 9 za y v enačbi x=-\frac{7}{3}y+35. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Pomnožite -\frac{7}{3} s/z 9.

$$x=-21+35$$

Seštejte 35 in -21.

$$x=14$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=14,y=9$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 21, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 7,3.

$$3x+7y=105$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 14.

$$-x+42y=364$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=14,y=9$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 21, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 7,3.

$$3x+7y=105$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 14.

$$-x+42y=364$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Če želite izenačiti 3x in -x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Poenostavite.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Odštejte -3x+126y=1092 od -3x-7y=-105 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Seštejte -3x in 3x. Z okrajšanjem izrazov -3x in 3x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Seštejte -7y in -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Seštejte -105 in -1092.

$$-133y=-1197$$

Delite obe strani z vrednostjo -133.

$$y=9$$

Vstavite 9 za y v enačbi -x+42y=364. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$-x+42\times 9=364$$

Pomnožite 42 s/z 9.

$$-x+378=364$$

Odštejte 378 na obeh straneh enačbe.

$$-x=-14$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$x=14$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=14,y=9$$