Rešite x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Rešitev za x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 20, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 5,4.

$$4x=5y$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Vstavite \frac{5y}{4} za x v drugo enačbo -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Seštejte -\frac{5y}{4} in y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Pomnožite obe strani z vrednostjo -4.

$$y=12$$

Vstavite 12 za y v enačbi x=\frac{5}{4}y. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Pomnožite \frac{5}{4} s/z 12.

$$x=15$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=15,y=12$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 20, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 5,4.

$$4x=5y$$

Odštejte 5y na obeh straneh.

$$4x-5y=0$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 3.

$$y=x-3$$

Odštejte x na obeh straneh.

$$y-x=-3$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=15,y=12$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 20, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 5,4.

$$4x=5y$$

Odštejte 5y na obeh straneh.

$$4x-5y=0$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 3.

$$y=x-3$$

Odštejte x na obeh straneh.

$$y-x=-3$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Če želite izenačiti 4x in -x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Poenostavite.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Odštejte -4x+4y=-12 od -4x+5y=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Seštejte -4x in 4x. Z okrajšanjem izrazov -4x in 4x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$5y-4y=12$$

Seštejte 5y in -4y.

$$y=12$$

Vstavite 12 za y v enačbi -x+y=-3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$-x+12=-3$$

Odštejte 12 na obeh straneh enačbe.

$$-x=-15$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$x=15$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=15,y=12$$