Rešite x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Rešitev za x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 12, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 3,4.

$$4x+3y=48$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 4, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 2,4.

$$2x-y=4$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$4x+3y=48$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$4x=-3y+48$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Vstavite -\frac{3y}{4}+12 za x v drugo enačbo 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Pomnožite 2 s/z -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Seštejte -\frac{3y}{2} in -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Odštejte 24 na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{5}{2}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=8$$

Vstavite 8 za y v enačbi x=-\frac{3}{4}y+12. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Pomnožite -\frac{3}{4} s/z 8.

$$x=-6+12$$

Seštejte 12 in -6.

$$x=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=6,y=8$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 12, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 3,4.

$$4x+3y=48$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 4, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 2,4.

$$2x-y=4$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=6,y=8$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 12, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 3,4.

$$4x+3y=48$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe z 4, najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila 2,4.

$$2x-y=4$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Če želite izenačiti 4x in 2x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Poenostavite.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Odštejte 8x-4y=16 od 8x+6y=96 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Seštejte 8x in -8x. Z okrajšanjem izrazov 8x in -8x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$6y+4y=96-16$$

Seštejte 6y in 4y.

$$10y=96-16$$

Seštejte 96 in -16.

$$10y=80$$

Delite obe strani z vrednostjo 10.

$$y=8$$

Vstavite 8 za y v enačbi 2x-y=4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$2x-8=4$$

Prištejte 8 na obe strani enačbe.

$$2x=12$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=6,y=8$$