Rešite x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Rešitev za x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Pomnožite obe strani enačbe s/z \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -4 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Seštejte 16 in 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Nasprotna vrednost -4 je 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, ko je ± plus. Seštejte 4 in 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Delite 4+2\sqrt{5} s/z 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{5} od 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Delite 4-2\sqrt{5} s/z 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Pomnožite obe strani enačbe s/z \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Dodajte 1 na obe strani. Katero koli število, ki mu prištejete nič, ostane enako.

$$x^{2}-4x=1$$

Delite -4, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -2. Nato dodajte kvadrat števila -2 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrat števila -2.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Seštejte 1 in 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Faktorizirajte x^{2}-4x+4. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Poenostavite.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$