Rešite 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Rešitev za x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$3x+2y=22$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$2x+y=14$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x+2y=22$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$3x=-2y+22$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Vstavite \frac{-2y+22}{3} za x v drugo enačbo 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Pomnožite 2 s/z \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Seštejte -\frac{4y}{3} in y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Odštejte \frac{44}{3} na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Pomnožite obe strani z vrednostjo -3.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Pomnožite -\frac{2}{3} s/z 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Seštejte \frac{22}{3} in -\frac{4}{3} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=6,y=2$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$3x+2y=22$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$2x+y=14$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=6,y=2$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$3x+2y=22$$

Razmislite o drugi enačbi. Pomnožite obe strani enačbe s/z 2.

$$2x+y=14$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Če želite izenačiti 3x in 2x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Poenostavite.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Odštejte 6x+3y=42 od 6x+4y=44 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Seštejte 6x in -6x. Z okrajšanjem izrazov 6x in -6x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$4y-3y=44-42$$

Seštejte 4y in -3y.

$$y=44-42$$

Seštejte 44 in -42.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi 2x+y=14. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$2x+2=14$$

Odštejte 2 na obeh straneh enačbe.

$$2x=12$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=6,y=2$$