Rešite frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Rešitev za b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Koraki za reševanje linearnih enačb

Racionalizirajte imenovalec \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} tako, da pomnožite števec in imenovalec s 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Razmislite o \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrat števila 2. Kvadrat števila \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Odštejte 3 od 4, da dobite 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Če poljubno število delite z ena, dobite isto število.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Pomnožite 2+\sqrt{3} in 2+\sqrt{3}, da dobite \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Seštejte 4 in 3, da dobite 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Zamenjajte strani tako, da so vse spremenljivke na levi strani.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Odštejte a na obeh straneh.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Enačba je v standardni obliki.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Delite obe strani z vrednostjo \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Z deljenjem s/z \sqrt{3} razveljavite množenje s/z \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Delite 4\sqrt{3}-a+7 s/z \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Rešitev za a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$