Rešite 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -1,1, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-1\right)\left(x+1\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x+1 s/z 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Združite x in 2x, da dobite 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Seštejte -1 in 2, da dobite 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odštejte 2x na obeh straneh.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Združite 3x in -2x, da dobite x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, 1 za b in 1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrat števila 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte 1 in 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, ko je ± plus. Seštejte -1 in \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Delite -1+\sqrt{5} s/z -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, ko je ± minus. Odštejte \sqrt{5} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Delite -1-\sqrt{5} s/z -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Spremenljivka x ne more biti enaka nobeni od vrednosti -1,1, ker deljenje z vrednostjo nič ni določeno. Pomnožite obe strani enačbe z \left(x-1\right)\left(x+1\right), najmanjšim skupnim mnogokratnikom števila x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x+1 s/z 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Združite x in 2x, da dobite 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Seštejte -1 in 2, da dobite 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odštejte 2x na obeh straneh.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Združite 3x in -2x, da dobite x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Odštejte 1 na obeh straneh. Če katero koli število odštejete od nič, dobite negativno vrednost števila.

$$x-x^{2}=-1$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Z deljenjem s/z -1 razveljavite množenje s/z -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Delite 1 s/z -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Delite -1 s/z -1.

$$x^{2}-x=1$$

Delite -1, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Seštejte 1 in \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-x+\frac{1}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Prištejte \frac{1}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$