Vyriešiť y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Riešenie pre y,x

$$x=12$$

$$y=38$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-3x=2$$

Prirátajte 3x ku obom stranám rovnice.

$$y=3x+2$$

Dosaďte 3x+2 za y v druhej rovnici -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Vynásobte číslo -2 číslom 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Prirátajte -6x ku 7x.

$$x-4=8$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$x=12$$

V rovnici y=3x+2 dosaďte x za premennú 12. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=3\times 12+2$$

Vynásobte číslo 3 číslom 12.

$$y=36+2$$

Prirátajte 2 ku 36.

$$y=38$$

Systém je vyriešený.

$$y=38,x=12$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=38,x=12$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Ak chcete, aby boli členy y a -2y rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Zjednodušte.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Odčítajte rovnicu -2y+7x=8 od rovnice -2y+6x=-4 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Prirátajte -2y ku 2y. Členy -2y a 2y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$6x-7x=-4-8$$

Prirátajte 6x ku -7x.

$$-x=-4-8$$

Prirátajte -4 ku -8.

$$-x=-12$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$x=12$$

V rovnici -2y+7x=8 dosaďte x za premennú 12. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-2y+7\times 12=8$$

Vynásobte číslo 7 číslom 12.

$$-2y+84=8$$

Odčítajte hodnotu 84 od oboch strán rovnice.

$$-2y=-76$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$y=38$$

Systém je vyriešený.

$$y=38,x=12$$