Vyriešiť y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Riešenie pre y

$$y=2$$

$$y=15$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor y^{2}-17y+30 pomocou vzorca y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-17 ab=30$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -17 súčtu.

$$a=-15 b=-2$$

Prepíšte výraz \left(y+a\right)\left(y+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte y-15=0 a y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare y^{2}+ay+by+30. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -17 súčtu.

$$a=-15 b=-2$$

Zapíšte y^{2}-17y+30 ako výraz \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

y na prvej skupine a -2 v druhá skupina.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Vyberte spoločný člen y-15 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte y-15=0 a y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, -17 za b a 30 za c.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Umocnite číslo -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Prirátajte 289 ku -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Opak čísla -17 je 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{17±13}{2}, keď ± je plus. Prirátajte 17 ku 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 2.

$$y=15$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{17±13}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 13 od čísla 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Vydeľte číslo 4 číslom 2.

$$y=2$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=15 y=2$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Výsledkom odčítania čísla 30 od seba samého bude 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Číslo -17, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{17}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{17}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{17}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Prirátajte -30 ku \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Rozložte y^{2}-17y+\frac{289}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Prirátajte \frac{17}{2} ku obom stranám rovnice.

$$y=15 y=2$$