Vyriešiť x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Riešenie pre x,y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-3y=7$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$x=3y+7$$

Dosaďte 3y+7 za x v druhej rovnici 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Vynásobte číslo 3 číslom 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Prirátajte 9y ku 3y.

$$12y+21=9$$

Odčítajte hodnotu 21 od oboch strán rovnice.

$$12y=-12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$y=-1$$

V rovnici x=3y+7 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Vynásobte číslo 3 číslom -1.

$$x=-3+7$$

Prirátajte 7 ku -3.

$$x=4$$

Systém je vyriešený.

$$x=4,y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=4,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Ak chcete, aby boli členy x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Zjednodušte.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Odčítajte rovnicu 3x+3y=9 od rovnice 3x-9y=21 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Prirátajte 3x ku -3x. Členy 3x a -3x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-9y-3y=21-9$$

Prirátajte -9y ku -3y.

$$-12y=21-9$$

Prirátajte 21 ku -9.

$$-12y=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou -12.

$$y=-1$$

V rovnici 3x+3y=9 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Vynásobte číslo 3 číslom -1.

$$3x-3=9$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$3x=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=4$$

Systém je vyriešený.

$$x=4,y=-1$$