Vyriešiť x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Postup pri rozkladaní na faktory

Ak chcete vyriešiť rovnicu, faktor x^{2}+31x-360 pomocou vzorca x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=31 ab=-360$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 31 súčtu.

$$a=-9 b=40$$

Prepíšte výraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) rozložený na faktory pomocou získaných koreňov.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-9=0 a x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-360. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 31 súčtu.

$$a=-9 b=40$$

Zapíšte x^{2}+31x-360 ako výraz \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

x na prvej skupine a 40 v druhá skupina.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Vyberte spoločný člen x-9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-9=0 a x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 1 za a, 31 za b a -360 za c.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Umocnite číslo 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Prirátajte 961 ku 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-31±49}{2}, keď ± je plus. Prirátajte -31 ku 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Vydeľte číslo 18 číslom 2.

$$x=9$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-31±49}{2}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 49 od čísla -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Vydeľte číslo -80 číslom 2.

$$x=-40$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=9 x=-40$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Prirátajte 360 ku obom stranám rovnice.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -360 od seba samého bude 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Odčítajte číslo -360 od čísla 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Číslo 31, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{31}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{31}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{31}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Prirátajte 360 ku \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Rozložte x^{2}+31x+\frac{961}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{31}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=9 x=-40$$