Vyriešiť 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 9x^{2}+ax+bx+4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -12 súčtu.

$$a=-6 b=-6$$

Zapíšte 9x^{2}-12x+4 ako výraz \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

3x na prvej skupine a -2 v druhá skupina.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 9 za a, -12 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo -36 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Prirátajte 144 ku -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Vykráťte zlomok \frac{12}{18} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Výsledkom odčítania čísla 4 od seba samého bude 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Delenie číslom 9 ruší násobenie číslom 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{9} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Číslo -\frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Prirátajte -\frac{4}{9} ku \frac{4}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Rozložte x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{2}{3}$$