Vyriešiť 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 7x^{2}+ax+bx-78. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 5 súčtu.

$$a=-21 b=26$$

Zapíšte 7x^{2}+5x-78 ako výraz \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

7x na prvej skupine a 26 v druhá skupina.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-3=0 a 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, 5 za b a -78 za c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslom -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Prirátajte 25 ku 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±47}{14}, keď ± je plus. Prirátajte -5 ku 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Vydeľte číslo 42 číslom 14.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-5±47}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 47 od čísla -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Vykráťte zlomok \frac{-52}{14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Prirátajte 78 ku obom stranám rovnice.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -78 od seba samého bude 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Odčítajte číslo -78 od čísla 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Číslo \frac{5}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{5}{14}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{5}{14}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{5}{14} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Prirátajte \frac{78}{7} ku \frac{25}{196} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Rozložte x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{14} od oboch strán rovnice.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$