Vyriešiť 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Riešenie pre n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 7n^{2}+an+bn-18. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 39 súčtu.

$$a=-3 b=42$$

Zapíšte 7n^{2}+39n-18 ako výraz \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

n na prvej skupine a 6 v druhá skupina.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Vyberte spoločný člen 7n-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 7n-3=0 a n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 7 za a, 39 za b a -18 za c.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Umocnite číslo 39.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo -28 číslom -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Prirátajte 1521 ku 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-39±45}{14}, keď ± je plus. Prirátajte -39 ku 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Vykráťte zlomok \frac{6}{14} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{-39±45}{14}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 45 od čísla -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Vydeľte číslo -84 číslom 14.

$$n=-6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Prirátajte 18 ku obom stranám rovnice.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -18 od seba samého bude 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Odčítajte číslo -18 od čísla 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Vydeľte obe strany hodnotou 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Delenie číslom 7 ruší násobenie číslom 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Číslo \frac{39}{7}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{39}{14}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{39}{14}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{39}{14} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Prirátajte \frac{18}{7} ku \frac{1521}{196} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Rozložte n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Zjednodušte.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Odčítajte hodnotu \frac{39}{14} od oboch strán rovnice.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$