Vyriešiť 6x^2-4x-112=0

$$6 { x }^{ 2 } -4x-112=0$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$3x^{2}-2x-56=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 3x^{2}+ax+bx-56. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-2 ab=3\left(-56\right)=-168$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -2 súčtu.

$$a=-14 b=12$$

Zapíšte 3x^{2}-2x-56 ako výraz \left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right).

$$\left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right)$$

x na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$x\left(3x-14\right)+4\left(3x-14\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-14 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-14\right)\left(x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-14=0 a x+4=0.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, -4 za b a -112 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -112.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 6}$$

Prirátajte 16 ku 2688.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 2704.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 6}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{4±52}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±52}{12}, keď ± je plus. Prirátajte 4 ku 52.

$$x=\frac{56}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{56}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{14}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±52}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 52 od čísla 4.

$$x=-\frac{48}{12}$$

Vydeľte číslo -48 číslom 12.

$$x=-4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Prirátajte 112 ku obom stranám rovnice.

$$6x^{2}-4x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -112 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}-4x=-\left(-112\right)$$

Odčítajte číslo -112 od čísla 0.

$$6x^{2}-4x=112$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{112}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{112}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{112}{6}$$

Vykráťte zlomok \frac{112}{6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{56}{3}$$

Číslo -\frac{2}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{56}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{56}{3}+\frac{1}{9}$$

Prirátajte \frac{56}{3} ku \frac{1}{9} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{169}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{13}{3}$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$