Vyriešiť 6x^2+37x-13=0

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6x^{2}+ax+bx-13. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -78.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 37 súčtu.

$$a=-2 b=39$$

Zapíšte 6x^{2}+37x-13 ako výraz \left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

2x na prvej skupine a 13 v druhá skupina.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-1=0 a 2x+13=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, 37 za b a -13 za c.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo 37.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -13.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

Prirátajte 1369 ku 312.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-37±41}{12}, keď ± je plus. Prirátajte -37 ku 41.

$$x=\frac{4}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-37±41}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 41 od čísla -37.

$$x=-\frac{78}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-78}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Prirátajte 13 ku obom stranám rovnice.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -13 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

Odčítajte číslo -13 od čísla 0.

$$6x^{2}+37x=13$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

Číslo \frac{37}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{37}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{37}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{37}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

Prirátajte \frac{13}{6} ku \frac{1369}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

Rozložte x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

Odčítajte hodnotu \frac{37}{12} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$