Vyriešiť 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 6x^{2}+ax+bx-7. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 19 súčtu.

$$a=-2 b=21$$

Zapíšte 6x^{2}+19x-7 ako výraz \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

2x na prvej skupine a 7 v druhá skupina.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-1=0 a 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 6 za a, 19 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Umocnite číslo 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo -24 číslom -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Prirátajte 361 ku 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-19±23}{12}, keď ± je plus. Prirátajte -19 ku 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-19±23}{12}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 23 od čísla -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Vykráťte zlomok \frac{-42}{12} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Delenie číslom 6 ruší násobenie číslom 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Číslo \frac{19}{6}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{19}{12}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{19}{12}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{19}{12} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Prirátajte \frac{7}{6} ku \frac{361}{144} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Rozložte x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Odčítajte hodnotu \frac{19}{12} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$