Vyriešiť 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 56x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -30 súčtu.

$$a=-28 b=-2$$

Zapíšte 56x^{2}-30x+1 ako výraz \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

28x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-1=0 a 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 56 za a, -30 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Umocnite číslo -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Prirátajte 900 ku -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Opak čísla -30 je 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±26}{112}, keď ± je plus. Prirátajte 30 ku 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Vykráťte zlomok \frac{56}{112} na základný tvar extrakciou a elimináciou 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{30±26}{112}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 26 od čísla 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{112} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Delenie číslom 56 ruší násobenie číslom 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{56} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Číslo -\frac{15}{28}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{15}{56}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{15}{56}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{15}{56} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Prirátajte -\frac{1}{56} ku \frac{225}{3136} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Rozložte x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Prirátajte \frac{15}{56} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$