Vyriešiť 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx-16. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -2 súčtu.

$$a=-10 b=8$$

Zapíšte 5x^{2}-2x-16 ako výraz \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

5x na prvej skupine a 8 v druhá skupina.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Vyberte spoločný člen x-2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-2=0 a 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -2 za b a -16 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Prirátajte 4 ku 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±18}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Vydeľte číslo 20 číslom 10.

$$x=2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±18}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 18 od čísla 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-16}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Prirátajte 16 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -16 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Odčítajte číslo -16 od čísla 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Číslo -\frac{2}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Prirátajte \frac{16}{5} ku \frac{1}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Prirátajte \frac{1}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$