Vyriešiť 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-32x=48$$

Odčítajte hodnotu 48 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Výsledkom odčítania čísla 48 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -32 za b a -48 za c.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Prirátajte 1024 ku 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Opak čísla -32 je 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 32 ku 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Vydeľte číslo 32+8\sqrt{31} číslom 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8\sqrt{31} od čísla 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Vydeľte číslo 32-8\sqrt{31} číslom 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Číslo -\frac{32}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{16}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{16}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{16}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Prirátajte \frac{48}{5} ku \frac{256}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Prirátajte \frac{16}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$