Vyriešiť 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -12 za b a -7 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Prirátajte 144 ku 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Vydeľte číslo 12+2\sqrt{71} číslom 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{71} od čísla 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Vydeľte číslo 12-2\sqrt{71} číslom 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -7 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Odčítajte číslo -7 od čísla 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Číslo -\frac{12}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{6}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{6}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{6}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Prirátajte \frac{7}{5} ku \frac{36}{25} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Prirátajte \frac{6}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$