Vyriešiť 4y^2-7y+1=0

$$4 y ^ { 2 } - 7 y + 1 = 0$$

Riešenie pre y

$$y = \frac{\sqrt{33} + 7}{8} \approx 1,593070331$$

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}\approx 0,156929669$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -7 za b a 1 za c.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -7.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16}}{2\times 4}$$

Prirátajte 49 ku -16.

$$y=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku \sqrt{33}.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{7±\sqrt{33}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{33} od čísla 7.

$$y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-7y+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$4y^{2}-7y+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$4y^{2}-7y=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4y^{2}-7y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Číslo -\frac{7}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Prirátajte -\frac{1}{4} ku \frac{49}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64}=\frac{33}{64}$$

Rozložte y^{2}-\frac{7}{4}y+\frac{49}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{33}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{64}}$$

Zjednodušte.

$$y-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{33}}{8} y-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{33}}{8}$$

Prirátajte \frac{7}{8} ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{\sqrt{33}+7}{8} y=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$