Vyriešiť 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Riešenie pre y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4y^{2}-56y=108$$

Odčítajte hodnotu 108 od oboch strán rovnice.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Výsledkom odčítania čísla 108 od seba samého bude 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -56 za b a -108 za c.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -56.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Prirátajte 3136 ku 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Opak čísla -56 je 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 56 ku 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Vydeľte číslo 56+16\sqrt{19} číslom 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16\sqrt{19} od čísla 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Vydeľte číslo 56-16\sqrt{19} číslom 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Vydeľte číslo -56 číslom 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Vydeľte číslo 108 číslom 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Číslo -14, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -7. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -7. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Umocnite číslo -7.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Prirátajte 27 ku 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Rozložte y^{2}-14y+49 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Zjednodušte.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Prirátajte 7 ku obom stranám rovnice.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$